Upp till
forsknings-
information
om matematik

Fourierserier, harmonisk analys och wavelets

När man knäpper på en sträng på en gitarr börjar strängen vibrera och avger ett ljud, som vi uppfattar som en ton. Det ljud som vi hör består av svängningar, en grundsvängning, grundton, och en del övertoner. Grundtonen kan i ett typiskt fall vara en ren sinussvängning.

sin x

Övertonerna, är toner med en frekvens som är heltalsmultipler av grundtonens, tex , etc. Om man adderar (överlagrar) dessa funktioner med koefficienter, tex om man bildar

får man modifieringar av den första svängningen. Fortsätter man längre på den inslagna vägen och bildar funktionen

så ser den funktionen ut så här:

Funktionen f(x)=x/2 och en approximation till den

Fortsätter man i det oändliga får man en framställning av funktionen

som en summa av sinussvängningar. Man brukar säga att man gjort en spektralanalys eller spektraluppdelning av funktionen f. Den som först kom på idén att framställa en funktion som en summa av svängningar var en fransman som hette Fourier och levde 1768-1830. Han behövde göra en spektraluppdelning för att kunna studera värmeledningen i en homogen stång, ett problem som inte verkar ha ett dugg med svängningar att göra! Hans matematiska bevis var inte helt invändningsfria och orsakade viss uppståndelse i den matematiska världen i början på 1800-talet. Han hävdade att praktiskt taget varje funktion kan skrivas som en summa av svängningar, en tanke som på den tiden ansågs fullständigt barock. Numera vet vi bättre! Att uppdela en funktion i sina svängningar kan med lämpliga definitioner tolkas som en generalisering av hur man uppdelar en vektor i vinkelräta komposanter.

De trigonometriska summorna som framställer en funktion f(x) kallas numera för Fourierserier. De brukar skrivas

Koefficienterna, dvs talen och , kallas Fourierkoefficienter och kan räknas ut med hjälp av integraler, något som kan göras exakt eller approximativt med hjälp av miniräknare eller dator. I vårt exempel ovan är koefficienterna alla lika med noll medan är . Det visar sig att om den funktion som man uppdelar är någotsånär "hygglig" behöver man bara räkna ut några få av koefficienterna i början för att få en mycket bra approximation till funktionen. Vi såg tidigare hur summan av de 10 första termerna, gav en god approximation till funktionen . Här nedan kan du själv se en annan funktion, och några av approximationerna s_n(x).

Man kan definiera en mängd matematiska begrepp. De som är bra överlever och får då ofta tillämpningar inom en rad olika områden. Så har det tex varit för begreppet Fourierserier, som användes inom de flesta naturvetenskaper, ekonomi, medicin mm. Som ett belysande exempel tar vi telefoni.

Det mänskliga talets svängningar överförs till spänningsvariationer. Ett stycke tal kan då se ut så här.

Tal

Sedan förmedlas dessa spänningsvariationer till mottagaren där de i hörtelefonen återskapas som svängningar. Tidigare överfördes spänningsvariationerna analogt (som kontinuerliga funktioner) och kunde därmed bli utsatta för större eller mindre förvrängningar. Bättre är då att skicka informationen digitalt (binärt). Då måste vi beskriva en funktion med hjälp av siffror, en metod som alltid används i de fiberoptiska kablarna. Vi hugger då av ljudkurvan i bitar av lämplig längd. För varje bit räknar vi snabbt ut de första Fourierkoefficienterna som alltså är siffror, som vi skickar iväg. Sedan tar vi nästa bit och gör på samma sätt. Allt går via chips med blixtens hastighet. På mottagarsidan tar man hand om koefficienterna och kan med hjälp av dem bygga upp Fourierserien, som ju är en utmärkt approximation till funktionen.

Varför går då överföring av siffror att göra praktiskt taget störningsfritt? Vi skickar bara nollor och ettor. Någon enstaka nolla kan råka ut för överföringsfel och komma fram som en etta. För att undvika att detta ska leda till ett fel kan man tex skicka fem nollor i stället för en och på samma sätt med ettorna. Då kan man t.o.m. komma på överföringsfel som felkodat två av ettorna eller nollorna i en femgrupp.

Utvecklingen har inte stått stilla sedan Fouriers dagar. Fourieranalys är nu ett område inom matematiken som omfattar mycket mer än Fourierserier. Hit räknas bl.a. teorin för Fouriertransformer och Laplacetransformer. Man har t.o.m. kunnat göra en abstrakt allmän teori där de uppräknade områdena utgör specialfall. Denna teori har fått det vackra namnet Harmonisk Analys.

Med en viss tolkning av begreppet ortogonalitet (vinkelräthet) kan man säga att de ingående svängningarna i en Fourierserie, dvs , är ortogonala. En Fourierserieutveckling är en ortogonalserieutveckling där man använder sig av det trigonometriska systemet.

Inom ortogonalserieutvecklingar har sedan 1980 en ny form utvecklats starkt. Det är teorin för wavelets, där man istället för det trigonometriska systemet använder sig av en ursprungsfunktion som kan vara noll utanför ett visst intervall och även besitta diskontinuiteter. Dessa funktioner translateras och förstoras och bildar ett ortogonalsystem som visat sig effektivt i många praktiska tillämpningar. Det kan röra sig om så disparata områden som signalanalys, tex av elektrokardiogram, kvalitetskontroll av vävar eller bildanalys.

Om f(x) är en wavelet så kan man med hjälp av funktionerna , där n och k är heltal, bygga upp funktioner definierade för alla x, på samma sätt som vi byggde upp tex med hjälp av funktionerna , där n är ett heltal.

Figur på wavelets

Inom den matematiska institutionen har alltid funnits ett starkt intresse för forskning inom Fourieranalys och närliggande områden. Flera doktorsavhandlingar har också producerats med anknytning till Fourierteori. På ett naturligt sätt har intresset därför nu vidgats till att omfatta den nya waveletteorin.