Upp till
forsknings-
information
om matematik.
 Att forska i matematik.
Förf: Frank Wikström

Som matematiker får jag ofta frågor och kommentarer av typen: "Hur forskar man egentligen i matematik?", "Jaså, du forskar i matematik...men vad gör du egentligen", eller "Vad kan man ha det till?" eller kanske till och med "Har man inte redan gjort allt?".

Så småningom tröttnar man på sådana frågor. Många har svårt att föreställa sig hur man forskar i matematik, eller till och med att det ens är möjligt att göra det...men varje år publiceras cirka 100,000 vetenskapliga uppsatser i matematik (och angränsande områden) i olika facktidskrifter världen över. (En av de allra mest ansedda tidskrifterna är "Acta Mathematica" och ges ut av Mittag-Lefflerstiftelsen i Stockholm.)

Tyvärr är det så att det ofta är mycket svårt för att inte säga näst intill omöjligt att förklara detaljerna i ett forskningsproblem för någon som inte har studerat matematik på universitetsnivå i ett par-tre år, men jag är helt övertygad om att den matematiska forskningens väsen går att fånga och beskriva på ett sätt som vem som helst kan förstå, och förhoppningsvis, uppskatta.

Så vad handlar matematik om egentligen?

Till skillnad från vad många tror, så handlar matematik inte så mycket om att räkna ut olika saker. Anledningen till att de flesta uppfattar matematik på det viset är förmodligen att matematik som skolämne --- i grundskolan såväl som på gymnasiet --- till stor del handlar om olika slags räknefärdighet.

Nej, matematik handlar om mönster och samband. Att forska i matematik är ofta en fråga om att hitta ett mönster i någon struktur som ingen har upptäckt förut. Ett matematiskt mönster kan vara geometriskt, men det behöver inte vara det. Det kan vara ett mönster som bäst lämpar sig att uttryckas med hjälp av en formel eller någon komplicerad ekvation, men i grund och botten är det ett mönster av något slag.

Många matematiker ser inte matematiken som en vetenskap, utan snarare som en konstform. Det kan låta fånigt, men när man lär sig uppskatta de matematiska mönstren kan de uppfattas lika sköna som god konst eller musik.

Utan tvivel har matematiken haft (och har fortfarande) ett enormt inflytande över hur naturvetenskaperna har utvecklats de senaste tre hundra åren. Allra tydligast syns detta inom fysiken som i stort sett uteslutande använder matematiken som det språk, med vilket man försöker förklara och förstå hur världen omkring oss är beskaffad.

En stor del av de senaste hundra årens utveckling inom matematiken har också inspirerats av och påskyndats av nya upptäckter inom fysiken. De senaste femtio åren har det varit ett liknande symbiotiskt förhållande mellan matematik och datavetenskap, men även andra vetenskaper använder matematiken som ett språk i sina modeller av verkligheten: kemi, biologi och på senare tid även ämnen som ekonomi, psykologi, sociologi och lingvistik för att nämna några exempel.

Allt detta till trots, så ser de flesta matematiker inte på sitt eget ämne i huvudsak som ett verktyg och språk ämnat att underlätta för andra vetenskaper, utan som ett område fyllt av intressanta, vackra och många gånger överraskande ting som är värda att studera för deras egen skull, oavsett om det finns några konkreta tillämpningar eller inte.

I själva verket händer det ofta att, oavsett hur obskyra, abstrakta och verklighetsfrämmande nya matematiska idéer och strukter kan tyckas vara, så tar det inte mer än några årtionden innan dessa idéer kommer att tillämpas i någon annan vetenskap.

Att förstå modern fysik eller kemi är praktiskt taget omöjligt för en lekman, även om det ofta går att ge någon slags förenklad bild av vad det handlar om. En partikelfysiker kan säga att hon låter pyttesmå partiklar frontalkrocka med varandra i ofantligt höga hastigheter för att studera vad som händer. Denna förklaring är naturligtvis en grov förenkling, men den kan ändå frammana någon slags bild av vad problemen handlar om. Att på ett djupare plan förstå vad en partikelfysiker egentligen gör är i princip omöjligt för någon som inte är insatt i ämnet.

Med detta i bakhuvudet är det inte så svårt att förstå att modern matematik uppfattas som obegriplig. I synnerhet bör man komma ihåg att matematiken som vetenskap (eller konstform) är cirka 3000 år gammal. Andra vetenskaper är betydligt yngre: fysiken växte fram på allvar på 1600-talet, kemin på 1800-talet och datavetenskapen på 1950-talet. Begreppsbildningen inom modern matematik har gått väldigt långt och många av de objekt man studerar är abstrakta och svåra att ge konkreta bilder av. Jag tror ändå att det är möjligt att ge en bild av hur forskning i matematik går till och att förhoppningsvis kunna delge en glimt av matematikens innersta väsen och den skönhet som kan dölja sig bakom ett abstrakt problem.

En litet exempel på matematikens mönster

Låt oss säga att du (av någon anledning) är intresserad av att veta summan av de första tio heltalen: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10. Det är klart att detta inte är något problem, utan bara en räkneuppgift. Vi kan helt enkelt räkna ut summan genom att lägga ihop term för term. Det visar sig att svaret blir 55. Så långt är allt frid och fröjd, men hur vore det om du i stället var intresserad av summan av de tjugo första heltalen?

Vi kan göra på samma sätt: skriva ner talen och summera dem. Oavsett hur många tal vi vill summera kan vi, åtminstone i princip, beräkna den efterfrågade summan, men det blir mer och mer besvärligt och tidsödande ju fler tal vi vill lägga ihop. Att beräkna summan av de en miljon första heltalen skulle ta nästan två veckor av oavbrutna beräkningar om du kan utföra en addition per sekund. Finns det något lättare sätt att beräkna denna summa? --- Vi är på jakt efter ett mönster!

Hitta mönstret!

Låt oss se om vi kan hitta något slags mönster. Vi beräknar de första summorna och undersöker om vi kan se någon regelbundenhet: 
            1 =  1
          1+2 =  3
        1+2+3 =  6
      1+2+3+4 = 10
    1+2+3+4+5 = 15
  1+2+3+4+5+6 = 21
1+2+3+4+5+6+7 = 28
I förståne är det inte så lätt att se någon regelmässighet utom att skillnaderna mellan två på varandra följande summor ökar med ett varje gång, dvs: 
 3 -  1 = 2
 6 -  3 = 3
10 -  6 = 4
15 - 10 = 5
och så vidare, men om vi funderar en stund, så ser vi att denna observation endast är en omformulering av det ursprungliga problemet. För varje ny summa lägger vi ju bara på ett till tal som i varje steg växter med ett. Vi behöver ett annat sätt att attackera problemet. Låt oss försöka att faktorisera summorna (dvs att skriva om dem som produkter av andra heltal) --- det brukar vara ett användbart knep när man tittar på problem där heltal är inblandade. 
            1 =  1 = 1 x 1
          1+2 =  3 = 1 x 3
        1+2+3 =  6 = 2 x 3
      1+2+3+4 = 10 = 2 x 5
    1+2+3+4+5 = 15 = 3 x 5
  1+2+3+4+5+6 = 21 = 3 x 7
1+2+3+4+5+6+7 = 28 = 4 x 7
Det här ser lovande ut! Den första faktorn ökar med 1 varannan gång och den andra faktorn ökar med 2 varannan gång. Låt oss beräkna ytterligare ett par summor för att se om mönstret fortsätter: 
                   1 =  1 = 1 x 1
                 1+2 =  3 = 1 x 3
               1+2+3 =  6 = 2 x 3
             1+2+3+4 = 10 = 2 x 5
           1+2+3+4+5 = 15 = 3 x 5
         1+2+3+4+5+6 = 21 = 3 x 7
       1+2+3+4+5+6+7 = 28 = 4 x 7
     1+2+3+4+5+6+7+8 = 36 = 4 x 9
   1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 = 5 x 9
 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 = 5 x 11

Nu när vi har hittat ett mönster, vad gör vi sen?

Det ser verkligen lovande ut! Men hur kan vi vara säkra på att vi har upptäckt ett verkligt mönster som fortsätter hur långt som helst? Vi skulle kunna räkna ut fler och fler summor och undersöka om mönstret fortsätter, men oavsett hur många summor vi än räknar ut, kan vi aldrig vara helt säkra på att inte mönstret bryts för nästa summa...

Vi har kommit en bra bit på väg i vår lilla övning i att forska i matematik --- vi har formulerat en förmodan om hur följden av summor fortsätter, men nu är det dags att försöka hitta ett bevis för vår förmodan --- ett argument som visar att oavsett hur många tal vi summerar, så följer summorna det mönster vi har hittat. Om vi kan göra detta har vi förvandlat vår f–rmodan till en matematisk sats, en oomkullrunkelig sanning.

Ett annat mönster --- tar det aldrig slut?

Ofta lönar det sig att betrakta ett problem på mer än ett sätt. Finns det något annat sätt att se på vårt problem? Kan man lägga ihop de första, säg tio, heltalen på mer än ett sätt? Nej......eller? Vi har kommit till ett kritiskt skede i vår forskning och det är här det är störst risk att fastna. För att komma vidare behöver vi en idé hur vi ska fortsätta.

Här kommer en idé: Vad händer om vi beräknar vår summa som 10+9+8+...+1 istället för som 1+2+...+10? Det är klart att resultatet måste bli detsamma --- det spelar ingen roll i vilken ordning vi lägger ihop våra tal. Men om man skriver båda dessa varianter under varandra, så uppkommer ett nytt mönster! 

     1 +  2 +  3 +  4 +  5 +  6 +  7 +  8 +  9 + 10 =  55
    10 +  9 +  8 +  7 +  6 +  5 +  4 +  3 +  2 +  1 =  55
Kan du se det nya mönstret? 
     1 +  2 +  3 +  4 +  5 +  6 +  7 +  8 +  9 + 10 =  55
    10 +  9 +  8 +  7 +  6 +  5 +  4 +  3 +  2 +  1 =  55
    -----------------------------------------------------
    11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 110
Nu då? Den här observationen --- det nya mönstret som vi hittat --- gäller oavsett hur många termer vi lägger ihop. Låt oss kalla detta antal för n. Talet n kan vara 10 som här ovan, eller 200 eller 1,000,000 eller vad som helst. 
     1 +  2  +  3  +  4  + ... + n-2 + n-1 +   n =  ?
     n + n-1 + n-2 + n-3 + ... +   3 +   2 +   1 =  ?
   ------------------------------------------------------
     n+1 + n+1 + n+1 + n+1 + ... + n+1 + n+1 + n+1 = n(n+1)
Den enda skillnaden är att vi inte vet summan, därav frågetecknet. Men vi kan beräkna summan i den tredje raden, eftersom det är n stycken termer, var och en lika med n+1. Summan måste alltså bli n(n+1). Å andra sidan är detta tal dubbelt så stort som den summa vi egentligen vill beräkna! Vi har löst vårt problem fullständigt: 
               1 +  2 + ... + n = n(n+1)/2
Kan vi nu vara säkra på att detta uttryck är sant, oavsett värdet på n. Vår ursprungliga förmodan grundade sig bara på gissningar av att vi hade hittat ett mönster, men nu har vi genomfört ett deduktivt resonemang, som är lätt att skriva ner som ett formellt bevis om man har lite vana med det.

Låt oss ändå kontrollera vårt resultat. Låt oss ställa samma fråga som vi började med: Vad är summan av de tio första heltalen? (Nu vet vi ju redan svaret på denna fråga --- summan blir 55, men låt oss använda den formel vi har kommit fram till istället.) Formeln säger att summan är 10 x 11 / 2 = 55. (Byt ut n mot 10.) Vad är summan av de en miljon första heltalen? Kom ihåg att det skulle ta minst två veckor att utföra alla additionerna... Nu är svaret enkelt: Summan blir 1,000,000 x 1,000,001/2 = 50,000,500,000.

Så, det var allt det då, eller?

Skulle en matematiker vara nöjd med att hitta den här lösningen? Förmodligen inte. Han eller hon skulle försöka att lösa liknande och kanske allmännare problem på samma sätt. Man muss immer generalisieren. Till exempel, kan man beräkna summan 
 2   2   2   2   2         2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n
på motsvarande sätt? Hur är det med 
 3   3   3   3   3         3
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n
Går det rent av att räkna ut 
 k   k   k   k   k         k
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n
Försök själv! Kanske kan du komma på andra liknande problem och försöka lösa dem. Den enda begränsningen är din egen nyfikenhet och upptäckarlusta.
 

© Frank Wikström
Matematiska institutionen, Umeå universitet.